中的算法不能用于起終點(diǎn)連線與X軸平行的圓弧，因其公式中出現(xiàn)分母為（y2-y1）的情況；文獻(xiàn)<2>明確給出了兩組圓心坐標(biāo)，但筆者認(rèn)為，其取舍較為復(fù)雜。因?yàn)樵赗相同的情況下，順逆圓將影響圓心坐標(biāo)的確定；如果R和圓的順逆均不變，起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)同樣影響圓心的坐標(biāo)。因此，該算法需要分別根據(jù)G02、G03、+R、-R以及由起點(diǎn)指向終點(diǎn)的矢量與坐標(biāo)軸的夾角來進(jìn)行取舍。

　　為此，本文提出了矢量算法，利用矢量的方向性，快速簡便地求解圓心坐標(biāo)。

　　1R編程的矢量算法如所示，已知圓的半徑R，起點(diǎn)A（x1，y1）和終點(diǎn)B（x2，y2）。從中可以看出，滿足此條件的圓心有兩個O1（X1，Y1）和O2（X2，Y2）。連接AB和O1O2，其交點(diǎn)坐標(biāo)為M（xm，ym），則有：xm=x1+x2（1）ym=y1+y2|MO1|=|MO2|=R2-（x2-x1）2+（y2-y1）24（2）起點(diǎn)A到B的矢量可以示為：LAB=（x2-x1）i+（y2-y1）j（3）影響圓弧圓心坐標(biāo)的因素其方向矢量為lAB=x2-x1（x2-x1）2+（y2-y1）2i+y2-y1（x2-x1）2+（y2-y1）2j=lxi+lyj（4）MO1和MO2的矢量可以分別示為：LMO1=（X1-xm）i+（Y1-ym）j（5）LMO2=（X2-xm）i+（Y2-ym）j（6）圓心坐標(biāo)的確定與圓弧的順逆（G02、G03）、長短（優(yōu)劣）以及起終點(diǎn)的位置關(guān)系如所示。

　　圓心坐標(biāo)的取舍圓弧的順逆圓弧的優(yōu)劣起終點(diǎn)位置圓心位置LAB與LMO1或LMO2的關(guān)系G02劣?。╝）或（e）O2或O1LAB順時針旋轉(zhuǎn)90到LMO2或LMO1G02優(yōu)?。╞）或（f）O1或O2LAB逆時針旋轉(zhuǎn)90到LMO1或LMO2G03劣?。╟）或（g）O1或O2LAB逆時針旋轉(zhuǎn)90到LMO1或LMO2G03優(yōu)?。╠）或（h）O2或O1LAB順時針旋轉(zhuǎn)90到LMO2或LMO1從可以看出：起終點(diǎn)相同的G02的劣弧和G03的優(yōu)弧為同一圓心，此時LAB順時針旋轉(zhuǎn)90到其圓心所在的矢量方向；G02的優(yōu)弧和G03的劣弧為同一圓心，此時LAB逆時針旋轉(zhuǎn)90到其圓心所在的矢量方向，而與起終點(diǎn)的位置無關(guān)。

　　因此，R編程格式圓心的求解可以歸結(jié)為求解G02的劣弧和G02的優(yōu)弧的圓心問題。

　　如果弧AB是G02的劣弧（（a）），其圓心為O2，此時，LAB順時針旋轉(zhuǎn)到LMO2，因有LABLMO2=0，所以矢量MO2的方向矢量為：lMO2=lyi+（-lx）j圓心O2的坐標(biāo)就可以計算出來：X2=xm+|MO2|lyY2=ym+|MO2|（-lx）（7）如果弧AB是G02的優(yōu)弧（（b）），其圓心為O1，此時，LAB逆時針旋轉(zhuǎn)到LMO1，所以矢量MO1的方向矢量為：lMO1=（-ly）i+lxj（8）圓心O1的坐標(biāo)：X1=xm+|MO1|（-ly）Y1=ym+|MO1|lx（9）以上分析的是中（a）（d）的情況，對于（e）（h）的情況，只需將相應(yīng)的圓心坐標(biāo)的下標(biāo)稍作修改。圓弧插補(bǔ)是平面曲線插補(bǔ)，對于笛卡爾坐標(biāo)系的YOZ和XOZ平面，只要作相應(yīng)的坐標(biāo)變換就可以了。

　　結(jié)論（1）將影響圓心位置的諸因素歸結(jié)為兩種情況，簡化了計算和編程，程序由原來的60行減為21行；（2）利用矢量法給出確定的圓心坐標(biāo)，計算的同時對圓心位置進(jìn)行取舍，減少了計算量；（3）計算中減少了誤差的累積和傳播，提高了計算精度；（4）在本文公式中，分母出現(xiàn)的是（x2-x1）2+（y2-y1）2，故可以用于起終點(diǎn)連線與X軸或Y軸呈任意角度的圓弧，彌補(bǔ)了文獻(xiàn)<1>中的不足。