數(shù)控機(jī)床要求較高運(yùn)動(dòng)精度，其故障信息的載體與一般機(jī)械有所不同。大量診斷實(shí)例表明，從加工零件的質(zhì)量上分析機(jī)床的運(yùn)行狀態(tài)，是診斷機(jī)床的主要思路。主軸是數(shù)控機(jī)床的關(guān)鍵部件，其運(yùn)動(dòng)精度直接影響工件的加工質(zhì)量。當(dāng)主軸不平衡運(yùn)行時(shí)，產(chǎn)生的往復(fù)慣性力使軸瓦與主軸頸在油膜壁*薄處發(fā)生撞擊，引起機(jī)床主軸的運(yùn)動(dòng)誤差。主要包括主軸的純徑向跳動(dòng)D、純角度擺動(dòng)和純軸向竄動(dòng)L。

 

　　時(shí)間序列分析法是以模式識(shí)別理論為基礎(chǔ)，將動(dòng)態(tài)過程為隨機(jī)的復(fù)雜系統(tǒng)抽象為簡(jiǎn)單物理模型以便于實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的監(jiān)測(cè)與診斷。現(xiàn)有文獻(xiàn)大部分都是基于一維時(shí)間序列進(jìn)行討論，但對(duì)于許多實(shí)際問題，僅考慮一個(gè)因素并不能夠充分揭示系統(tǒng)內(nèi)部規(guī)律。為進(jìn)一步解釋各相關(guān)物理量對(duì)系統(tǒng)的影響關(guān)系，提高模型擬合精度，可引入多維時(shí)間序列模型。本文將多維時(shí)間序列應(yīng)用于工件表面粗糙度Ra監(jiān)測(cè)，分析了D、、L與Ra之間的影響關(guān)系。

 

　　1時(shí)序模型的選擇常用時(shí)序模型有自回歸模型（AR）、滑動(dòng)平均模型（MA）以及自回歸滑動(dòng)模型（ARMA ）。后兩類模型都可以用高階的AR模型來逼近，其逼近程度取決于所取的自回歸模型的階次。由于AR模型的參數(shù)估計(jì)為線性回歸過程，其計(jì)算簡(jiǎn)單、速度快，實(shí)際物理系統(tǒng)也往往是全極點(diǎn)系統(tǒng)，因此， AR模型的應(yīng)用廣泛，特別適用于機(jī)械故障診斷中。

 

　　對(duì)于AR模型討論的前提是假設(shè)所獲得的時(shí)間序列是平穩(wěn)、正態(tài)分布的序列。但當(dāng)機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)處于某種隱患并且情況在不斷惡化時(shí)，通過傳感器得到的數(shù)據(jù)將是不平穩(wěn)時(shí)間序列，含有某種隨時(shí)間穩(wěn)定發(fā)展的趨勢(shì)。對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)序經(jīng)過若干階差分變換可以得到平穩(wěn)時(shí)間序列，然后對(duì)其進(jìn)行ARMA建模。為此提出非平穩(wěn)時(shí)間序列ARIMA模型。

 

　　1 1 AR IMA模型ARIMA模型是平穩(wěn)時(shí)間序列在非平穩(wěn)狀態(tài)下的拓展，它與非平穩(wěn)序列{X t }密切相關(guān)， AR IMA模型經(jīng)過有限次差分（ Y t = （ 1- B ）d X t， B為后移算子）后，{ Y t }即為ARMA序列。

 

　　適合ARIMA模型建模的數(shù)據(jù)具有緩慢衰變的正樣本自相關(guān)系數(shù)函數(shù)的特征；經(jīng)過差分變換后，適合ARMA建模的數(shù)據(jù)應(yīng)具有快速下降的樣本自相關(guān)系數(shù)函數(shù)的特征。

 

　　1 2多維AR模型概念從一維AR模型的概念出發(fā)可以定義多維AR模型。多維AR模型可以擬合多數(shù)實(shí)際情況，因?yàn)樗梢员平嗑SARMA模型。設(shè)有m維的AR（ p）模型：z t = A 1 z t- 1 + A 2 z t- 2 + + A p z t- p + u t（1）式中： z t是m 1維零均值平穩(wěn)序列；A j（ j = 1， 2，， p）是m m矩陣，其中A p 0； { u t }是m維白噪聲序列，在不同時(shí)刻彼此無關(guān)，即E < u t > = 0 E < u t u T s > = S，t= s 0，t s（2）式中：S是m m階正定陣，且E < u t z t- j > = 0（ j = 1，2，）。則多變量平穩(wěn)的條件： det p i= 0 A i B i = 0的根全在單位圓外。如果{ z t }滿足式（1）及平穩(wěn)性條件，則{ z t }就稱為m維AR（p ）序列。

 

　　2多維AR模型的建立2 1數(shù)據(jù)采集通過傳感器得到的振動(dòng)、轉(zhuǎn)角信號(hào)都是連續(xù)信號(hào)，而建立時(shí)序模型需要對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行離散采樣。

 

　　因此首先要確定采樣間隔。若采樣間隔不合理，則會(huì)產(chǎn)生不同頻率諧波的混迭。當(dāng)取得過大，采樣數(shù)據(jù)將丟失觀測(cè)信號(hào)中原有的相關(guān)關(guān)系，以致模型發(fā)生降階，降低信號(hào)分辨率；當(dāng)取得過小時(shí)，又會(huì)將高頻噪聲作為有用信號(hào)計(jì)入，使模型發(fā)生升階，造成計(jì)算量增大。采用香農(nóng)采樣定理：當(dāng)采樣頻率f s高于諧波的*高頻率f max的2倍時(shí)，即可避免頻混，為此常取= 1/2 5f m ax進(jìn)行采樣。

 

　　2 2多維AR模型的參數(shù)估計(jì)AR模型的參數(shù)估計(jì)法常用直接估計(jì)法，其中包括YuleW alker估計(jì)法和*小二乘估計(jì)法。相關(guān)矩估計(jì)方法是時(shí)間序列模型參數(shù)估計(jì)*常用的方法，它是建立在Y W方程基礎(chǔ)上的。雖然該方法的估計(jì)精度沒有*小二乘法那樣高，但其計(jì)算簡(jiǎn)便實(shí)用。特別是對(duì)于具有正態(tài)特性的時(shí)間序列，在樣本數(shù)據(jù)足夠多的情況下，其估計(jì)精度可以與*小二乘估計(jì)法相當(dāng)。本文采用選擇Y W估算法。這就得到A j（ j = 1， 2，，p ）的矩估計(jì)。從理論上可知YuleW alker矩估計(jì)量有很多優(yōu)點(diǎn)，如正定性、漸近無偏性、弱相容性和漸近正態(tài)性。

 

　　3多維AR模型定階的FPE準(zhǔn)則FPE準(zhǔn)則（*小*終預(yù)報(bào)誤差準(zhǔn)則）是由樣本對(duì)模型定階。它是以模型輸出的一步預(yù)報(bào)誤差方差來判定模型階次：一步預(yù)報(bào)誤差方差陣的行列式越小，就認(rèn)為模型擬合得越理想，這時(shí)的模型階次認(rèn)為是*佳的階次。

 

　　由樣本長度為N的m維觀測(cè)數(shù)據(jù)所擬合的AR（p）模型見式（1）。^ T i（8）需要說明，如果FPE p（z t）的值隨p的增大而單調(diào)上升，則可判定模型為一階自回歸模型；如果FPE p（z t）的值隨p的上升而單調(diào)減小，則樣本序列不能用AR模型來描述；若隨p值增加FPE p（z t）的值上下劇烈跳動(dòng)，可增大樣本長度再進(jìn)行定階。

 

　　為了考察m維序列的規(guī)律能否由其部分分量，如前q個(gè)分量（ q< m ）來充分描述系統(tǒng)特征，進(jìn)一步引入*終預(yù)報(bào)誤差方差的子方陣，其行列式FPE p， q， m（ z t）^ T i的左上角q階子方陣。如果m inFPE p， q， m（ z t） %m inFPE p， q， q（ z t），則認(rèn)為僅考察前q維序列就行了，考察m維序列并未比僅考慮前q維序列帶來顯著好處，因此可以排除次要因素，集中于主要因素的監(jiān)測(cè)診斷；反之如果m inFPE p， q， m（z t）< m inFPE p， q， q（z t），則必須全面考察m維序列，才能獲得對(duì)系統(tǒng)的全面了解。這也為如何建立多維序列模型提供了具體方法。

 

　　4算例研究本文以某數(shù)控車床加工工件的表面粗糙度Ra、車床主軸的純徑向跳動(dòng)D、純角度擺動(dòng)和純軸向竄為對(duì)象建立初始四維AR模型。其中，機(jī)床設(shè)計(jì)主軸的*高工作轉(zhuǎn)速為15 000r /m in.樣本數(shù)N為500.則非平穩(wěn)時(shí)間序列處理步驟如下：（1）觀測(cè)上述四維非平穩(wěn)觀測(cè)值前480個(gè)樣本序列{X t }， {X t } = （ Ra，D， ，L）T，其中{Ra }，{ D }原始數(shù)據(jù)如所示。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一次差分以后得到平穩(wěn)序列{ Y t }， { Y t } = （ 1- B ） {X t }.{R a t }經(jīng)一次差分后所得時(shí)間序列，一次差分后所得到的自相關(guān)系數(shù)，圖中顯示有顯著下降的趨勢(shì)，說明經(jīng)過差分變換的序列已符合ARMA建模的條件。然后對(duì){ Y t }進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)處理： z t = （ Y t - % y） / y，式中， % y為序列{ Y t }的均值， y是{ Y t }的均方差。進(jìn)而，對(duì){ z t }進(jìn)行多維AR建模，由Y t =y z t + % y，逆變換得到時(shí)序{ Y t }，*終反變換得到序列{X t }.

 

　　（2）由多維YuleW alker算法依次估計(jì)四維模型AR（p） （其中p = 1， 2，）的參數(shù)，在此基礎(chǔ)上計(jì)算各階模型的FPE值，定出模型*佳階次。本文計(jì)算了10階AR模型的FPE值，當(dāng)AR（6）時(shí)FPE值*小，可知此四維AR模型*佳階次為6，依此建立四維AR（6）模型。

 

　?。?）分析各相關(guān)物理量對(duì)表面粗糙度的影響程度。

 

　　看出FPE 6， 1， 2 < FPE 6， 1， 1，則認(rèn)為純徑向跳動(dòng)對(duì)加工工件表面粗糙度的影響較大； FPE 6， 2， 3 < FPE 6， 2， 2，則認(rèn)為純角度擺動(dòng)對(duì)工件表面粗糙度也是重要的； FPE 6， 3， 4 > FPE 6， 3， 3，則可認(rèn)為主軸的純軸向竄動(dòng)產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)誤差對(duì)加工工件表面的幾何形狀基本沒有影響，這與實(shí)際理論也是相符合的。依此結(jié)論，可知在建立機(jī)床主軸診斷的多維AR模型時(shí)，僅需考慮Ra，D，三個(gè)關(guān)鍵因素。

 

　?。?）根據(jù)上述觀點(diǎn)，建立{ Ra，D，} T三維AR （6）模型。依據(jù)此模型監(jiān)測(cè)并預(yù)報(bào)了序號(hào)480以后的20個(gè)Ra值，其結(jié)果如。從預(yù)測(cè)結(jié)果來看，使用AR （6）模型預(yù)測(cè)其*大相對(duì)誤差為8 7% ，*小僅為1 76% ，且基本吻合實(shí)測(cè)值發(fā)展趨勢(shì)，說明多維AR模型用于分析機(jī)床主軸部件故障是合理的。

 

　　5結(jié)論本文通過對(duì)工件表面粗糙度這一信息載體，研究了機(jī)床主軸各運(yùn)動(dòng)誤差對(duì)其影響程度。在此基礎(chǔ)上建立了基于非平穩(wěn)序列的多維AR模型，給出了從原始數(shù)據(jù)獲取到模型建立的理論依據(jù)。同時(shí)，依據(jù)FPE準(zhǔn)則，辨識(shí)出引起系統(tǒng)故障的主要因素，避免了次要因素的干擾。從而簡(jiǎn)化了建模的難度與工作量。通過實(shí)例計(jì)算，證明基于非平穩(wěn)序列的多維AR模型符合機(jī)床故障診斷要求，預(yù)測(cè)精度滿足要求。